Grundzüge einer quantitativen Genealogie (Rösch)/011

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Grundzüge einer quantitativen Genealogie (Rösch)
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      Wir lernen aus diesem Beispiel nicht bloß den Sinn der Zahl b und die Art ihrer Berechnungt kennen, sondern können hier schon ersehen, daß aus zwei elementaren Bausteinen sich alle Vws.-beuiehungen aufbauen lassen, nämlich aus dem Verhältnis von einem Elter zum Kind, und dem von Geschwistern zueinander. Im ersteren Fall ist eindeutig b = ¹/₂., sei es, daß man nach der Wahrscheinlichkeit fragt, im Kinde Erbteile des Elters zu finden, also ob man betrachtet, wieviel der Elter zum Ausbau des Kindes beiträgt, also in auf- oder absteigender Richtung geht. Im Falle der Geschwister stoßen wir bereits auf zwei Möglichkeiten: Beruht die Vws. von Geschwistern nur auf einem Elter, und wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, Erbanlagen des einen Geschwisters im anderen wiederzufinden, so erhalten wir b = ¹/₄. (Fall der Halbgeschwister); haben die Geschwister beide Eltern gemeinsamen, so verdoppelt sich der Wert zu b = ¹/₂ (Fall der Vollgeschwister). Die Fig. 3 veranschaulicht alle drei Elementar fälle. Um dabei z. B. die Zahl ¹/₄ bei Halbgeschwistern zu verstehen, überlegen wir so: Die bei A herausgegriffene Erbeigenschaft kann zufällig von C oder D stammen. Wählen wir ebenso bei B eine Erbeigenschaft, so kann diese von D oder E vererbt sein. Es ergeben sich also vier mögliche Kombinationen, die wir als CD, CE, DD, DE kennzeichnen wollen. Von diesen betrifft nur der Fall DD eine „Verwandtschaft“ zwischen A und B, so daß die Wahrscheinlichkeit, ihn zu treffen, sich zu ¹/₄ ergibt.

      Mit diesen Fällen der Fig. 3 haben wir grundsätzlich den Schlüssel zum Verständnis aller anderen. Um diese fundamentalen Operationen recht einprägsam darzulegen, seien sie aber an einigen weiteren Beispielen durchexerziert, denn es gibt manchmal doch an einigen weiteren Stellen Nüsse zu knacken. Die Fig. 4 bis 6 machen uns mit Berechnungen mehrfacher Vws. bekannt.

      So bestehen bei Fig. 4 zwischen A und N Beziehungen über F – G und Q – R: Jeder Verbindungsweg zwischen A und N (für jedes nächsterreichbare Ahnenehepaar oder noch sicherer für jeden Einzelahnen) muß für sich durchgerechnet, und die so erhaltenen Teil-b-Werte müssen zum endgültigen b_AN summiert werden. So erhält man: b_AN = b_AQ ✕ b_NQ + b_AR ✕ b_NR + b_AF ✕ b_NF + b_AG ✕ b_NG = ¹/₄ ✕ ¹/₈ + ¹/₄ ✕ ¹/₈ + ¹/₈ ✕ ¹/₁₆ + ¹/₈ ✕ ¹/₁₆ = ⁵/₆₄ = 0.078.

      Zum gleichen Zahlenwert werden wir im Beispiel der Fig. 5 geführt, da hier die frühest-erreichbaren gemeinsamen Ahnenpaare zu A und N die gleiche relative Lage haben: b_AN = b_AD ✕ b_ND + b_AE ✕ b_NE + b_AF ✕ b_NF + b_AG ✕ b_NG = 2 ✕ ¹/₃₂ + 2 ✕ ¹/₁₂₈ = ⁵/₆₄ = 0.078. Es macht als keine Unterschied, daß hier im Gegensatz zum Beispiel der Fig. 4 die eine Vws.-linie (über J) zu Ahnen führt, die auch in der anderen (über K) enthalten sind.

      Die Fig. 6 behandelt den Fall von Halbgeschwistern E und H, die in verschiedener Weise als Ahnen auftreten: H nur als Ahn von N, E als Ahn von A und N zugleich. Die Berechnung ergibt hier: b_AN = b_AB ✕ b_AN + b_AC ✕ b_NC + b_AF ✕ b_NF= ¹/₂ ✕ ¹/₄ + ¹/₂ ✕ ¹/₄ + ¹/₈ ✕ ¹/₁₆ = ³³/₁₂₈ = 0.258.

      Sodann können wir nun bei wachsender Komplizierung der Fälle zu dem der Fig. 1 zurückkehren, und auch diesen rechnerisch behandlen. Es ergibt sich