Über den Verwandtschaftsgrad (Rösch)

Über den Verwandtschaftsgrad

von Siegfried Rösch, Wetzlar

Zugleich als wohlverdienter Nachruf für den kürzlich verstorbenen großen Genealogen Wilhelm Karl Prinzen von Isenburg

Begriff und Definition des Verwandtschaftsgrades werden besser nicht aus dem BGB entnommen, sondern aus den biologischen Regeln, die bei der Bildung eines neuen Individuums aus den Keimzellen zweigeschlechtlicher Lebewesen abgeleitet werden können. Da hierbei in ganz klarer Weise der Zufall waltet, können quantitative Aussagen nur mit statistischen Methoden gewonnen werden. Wir wollen definieren:

Der mittlere biologische Verwandtschaftsanteil b („Blutzahl“) zwischen zwei Personen gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein bestimmtes Gen, damit also eine bestimmte Eigenschaftsanlage, der einen Person auch bei der anderen auftritt. Zwischen Vater und Sohn ist b = 0.5, da der Sohn die eine Hälfte vom Vater, die andere Hälfte von der Mutter hat. Und wir sind uns bewusst, dass im Einzelfall b_e = 1 oder b_e = 0 ist, und dass es dabei Zwischenwerte nicht gibt (was H. von Schelling sehr schön als „Alles-oder-Nichts-Gesetz“ bezeichnet). Entsprechend gilt zwischen einem Probanden und seinem Urenkel b = 0.125 (und zwar wechselseitig), da bei dreimaligem Zeugungsvorgang sein Blut drei Mal „auf die Hälfte verdünnt“ worden ist: 0.5, 0.25, 0.125. Auch hier sind nur statistische Mittelwerte gemeint, die wahren Werte sind wieder jeweils b_e = 1 oder b_e = 0. Es ist daher sinnvoll, auch über sehr ferne Verwandtschaften quantitative Angaben zu machen, denn der Zufall kann auch dabei Serien von b_e = 1 bescheren.

Es liegt nahe, statt der Zahl b die Anzahl der „Verdünnungen“ zu zählen, die damit in der Beziehung steht gb = -log b : log 2 oder b = 2^-gb. Dies ist die Definition des biologischen Verwandtschaftsgrades (bVG). Danach sind Vater und Sohn im 1. Grad verwandt, Proband und Urenkel im 3. Grad, Bruder und Schwester ebenfalls im 1. Grad; denn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geschwister vom Vater das gleiche Gen geerbt haben, ist b = 0.5 × 0.5 = 0.25; da aber über die Mutter Gleiches gilt, summiert sich 0.25 + 0.25 zu b = 0.5, und damit wird gb = 1 (während abweichend von diesem biologischen Befund die Juristen gj = 2 rechnen).

Hiermit sind wir in der Lage, jede beliebige Verwandtschaft auszurechnen, denn andere als die Kind-Eltern- und die Geschwister-Beziehung sind dabei nicht nötig. Beispielsweise ist ein Proband mit seinem „Vetter zweiten Grades“ biologisch im 5. Grad verwandt (es ist b = 1/32 gb = 5); beide haben ein Urgroßelternpaar gemeinsam.

Da nun die b-Werte den Vorzug haben, summierbar zu sein, können mit ihrer Hilfe auch Mehrfachverwandtschaften statistisch erfasst werden. Es ergebe sich z. B., dass zwei Personen über verschiedene Ahnenpaare im 5., im 6. und doppelt im 7. Grad verwandt sind, also gb = 5¹ 6¹ 7²; ich nenne dieses gb den „ausführlichen bVG“ (für den ich zunächst keine bessere Schreibweise weiß als diese Aneinanderreihung von Hochzahlen, die natürlich nicht als „5 mal 6 mal 49“ gelesen werden darf. Die Schreibweise gb = 5; 6; 7² ist weniger missverständlich, aber auch schwerfälliger, zumal recht lange Ketten auftreten können). Aus b₁ = 1:32, b₂ = 1:64, b₃ = 2:128, summiert man b = (4+2+2) : 128 = 1 : 16; hieraus ergibt sich rückwärts ein summarischer bVG g'b = 4.

Die biologische Bedeutung der letzteren zahl, die i.A. nicht ganzzahlig ist, liegt darin, dass eine Mehrfachverwandtschaft gerade in solchem Maß die Wahrscheinlichkeit erhöht, als ob der VG. der 4. wäre. Wie erheblich dieses Näherrücken werden kann, mag an einem reellen Beispiel gezeigt werden. Kaiser Friedrich II. (1197-1250) ist auf 47 verschiedenen wegen Nachkomme Karls des Großen, und zwar ist für ihn gb(Karl) = 13¹ 14¹⁰ 15¹⁷ 16¹¹ 17⁶ 18²; da seine erste Gemahlin, Konstanze von Aragon (†1222) die Verwandtschaft gb(Karl) = 13² 14⁸ 15¹¹ 16³ 17³ hat, ergibt sich für beider Sohn, König Heinrich VII. (1211-42), der Wert gb(Karl) = 14³ 15¹⁸ 16²⁸ 17¹⁴ 18⁹ 19², also N = 47 + 27 = 74 als Anzahl der verschiedenen Wege. Bedenkt man nun, dass jede Doppelverwandtschaft in einem bestimmten Grad von gleicher Wirkung ist, wie eine einfache in nächst niedrigerem Grad, also allgemein g²ⁿ = (g-1)ⁿ, so kann man aus Heinrichs gb-Wert ableiten: g"b = 10; 12; 14; 16; 17 indem man z.B. 14³ = 13¹ 14¹ und 15¹⁸ = 11¹ 14¹ setzt, was sich wieder zu 11¹ 13¹ 14² = 11¹ 12¹ zusammenziehen lässt. Den Zwischenwert g"b nenne ich, um klare Begriffe zu haben, den kleinsten ganzzahligen bVG. Summiert man die zu g"b = 10; 12; 14; 16; 17 gehörigen b-Werte, so ergibt sich b = 0.000977 + 0.000244 + 0.000061 + 0.000015 + 0.000008 = 0.001305 und hieraus wiederum g'b = 9.58 als summarischer bVG. Er lässt die hierbei auftretende starke biologische Annäherung Heinrichs an Karl richtig erkennen; denn während Heinrichs obiger Wert gb(Karl) = 14³ 15¹⁸ 16²⁸ 17¹⁴ 18⁹ 19² den Schwerpunkt des ausführlichen bVG (rein arithmetisch) bei gb_s = 16.14 errechnen lässt, ist dagegen g'b um mehr als 6 Generationen kleiner, die beiden Personen sind sich also gewissermaßen um 2 Jahrhunderte näher gerückt. Dies kann nicht ohne biologische Folgen sein!

Die Umrechnung von g"b in b und daraus in g'b kann erleichter werden durch Einführung einer weiteren Hilfsgröße. Bedenkt man nämlich, dass z.B. aus g"b = 10; 12; 14; 16; 17 sich g'b ergeben muss als ein Dezimalbruch, bei dem links vom Komma 9 steht (der Verwandtschaftsgrad ist infolge der Mehrfachverwandtschaft ein näherer als der 10., aber die Summe von noch so vielen höheren Gliedern als 10 bei g"b führt nicht auf einen kleineren Wert als 9), so kann man symbolisch schreiben g"'b = 9 (1; 3; 5; 7; 8), wobei die in der Klammer stehenden Überschüsse über 9 genügen, die Dezimalen rechts vom Komma für g'b zu errechnen. Diesen Zwischenwert g"'b nenne ich den reduzierten bVG; er vereinfacht die in Anmerkung 4 erwähnte Tabelle außerordentlich.

Nachdem nunmehr alle Begriffe genannt sind, an deren Klarlegung mir gelegen war, mag ein weiteres Beispiel weit größere Zahlen darlegen, wie sie die Praxis oftmals bietet. Von Goethes Ahnentafel wissen wir, dass in der 10. Generation Contzel Dietz, die natürliche Tochter des Landgrafen Heinrich III von Hessen (1441-83) auftritt. Über diese eine Ahnfrau von über 1000 Generationsgenossen führen für Goethe, wie eine vorläufige Auszählung ergab, nicht weniger als 2535 Linien zu den Karolingern. Sie verteilen sich so, dass für Goethe gb(Karl) = 30¹ 31³⁰ 32¹⁸⁰ 33⁴⁷⁴ 34⁶⁴¹ 35⁶²³ 36³⁶² 37¹⁶¹ 38⁵⁵ 39⁸ wird. (es ist immer wieder begeisternd, mit welcher Präzision sich bei solch größerem Zahlenmaterial die Gauss'sche Verteilungskurve realisiert!). Die Gewinnung des kleinsten ganzzahligen bVG g"b aus diesem ausführlichen bVG erfolgt hier am besten, indem man für jeden Posten gⁿ (wo g die „Gradnummer der Einzelverwandtschaft“, n die Anzahl ihres Vorkommens ist) die Zahl n in eine „dyadische Zahl“ (Zweier-Zahlensystem!) auflöst und dann für jede Gradnummer summiert, also: